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2017-2018-2019年三年高考数学文科真题分类汇编(解析版) 专题06 数列

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专题六 数列 (2019·全国Ⅰ文科)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 a1 ? 1,S3 ? 3 4 ,则 S4=___________. 【答案】 5 . 8 【分析】本题根据已知条件,列出关于等比数列公比 q 的方程,应用等比数列的求和公式, 计算得到 S4 .题目的难度不大,注重了基础知识、基本计算能力的考查. 【详解】详解:设等比数列的公比为 q ,由已知 S3 ? a1 ? a1q ? a1q2 ?1? q ? q2 ? 3 4 ,即 q2 ? q ? 1 4 ? 0 解得 q ? ? 1 , 2 所以 S4 ? a1(1? q4 ) 1? q ? 1? (? 1 )4 2 1? (? 1) ? 5 8 . 2 【点睛】准确计算,是解答此类问题的基本要求.本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式 计算,部分考生易出现运算错误. (2019·全国Ⅲ文科)已知各项均为正数的等比数列?an? 的前 4 项和为 15,且 a5 ? 3a3 ? 41a , 则 a3 ? ( ) A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 【答案】C 【分析】利用方程思想列出关于 a1 , q 的方程组,求出 a1 , q ,再利用通项公式即可求得 a3 的 值. 【详解】设正数的等比数列{an}的公比为 q ,则 ???aa11q?4 a1q ? a1q2 ? 3a1q2 ? ? a1q3 4a1 ? 15, , 解得 ???aq1??21, ,?a3 ? a1q2 ? 4 ,故选 C. 【点睛】应用等比数列前 n 项和公式解题时,要注意公比是否等于 1,防止出错. (2019·全国Ⅲ文科)记 Sn 为等差数列?an? 的前 n 项和,若 a3 ? 5, a7 ? 13 ,则 S10 ? ___________. 【答案】100 【分析】根据题意可求出首项和公差,进而求得结果. 【详解】详解: ???aa37 ? a1 ? 2d ? a1 ? 6d ? ? 5 13 , 得 ??? ad1 ?1 , ?2 ? S10 ? 10a1 ? 10 ? 9 2 d ? 10?1? 10 ? 9 2 ?2 ? 100. 【点睛】本题考点为等差数列的求和,为基础题目,难度不大.不能构造等数列首项和公差 的方程组致使求解不通,应设出等差数列的公差,为列方程组创造条件,从而求解数列的和. ? ? (2019·浙江)设 a,b ? R ,数列 an 中, an ? a, an?1 ? an2 ? b , b ? N? ,则( ) A. 当b ? 1 2 , a10 ? 10 B. 当b ? 1 4 , a10 ? 10 C. 当 b ? ?2, a10 ? 10 D. 当 b ? ?4, a10 ? 10 【答案】A 【分析】本题综合性较强,注重重要知识、基础知识、运算求解能力、分类讨论思想的考查. 本题从确定不动点出发,通过研究选项得解. 【详解】选项 B:不动点满足 x2 ? x ? 1 4 ? ? ?? x ? 1 2 ?2 ?? ? 0 时,如图,若 a1 ? a ? ? ?? 0, 1 2 ? ?? , an ? 1 2 , 排除 如图,若 a 为不动点 1 2 则 an ? 1 2 选项 C:不动点满足 x2 ? x ? 2 ? ? ?? x ? 1 2 ?2 ?? ? 9 4 ? 0 ,不动点为 ax ?1 2 ,令 a ? 2 ,则 an ? 2 ? 10 , 排除 选项 D:不动点满足 x2 ? x ? 4 ? ? ?? x ? 1 2 ?2 ?? ? 17 4 ? 0 ,不动点为 x ? 17 ? 1 ,令 22 a? 17 2 ? 1 2 ,则 an ? 17 ? 1 ? 10 ,排除. 22 选项 A:证明:当 b ? 1 2 时, a2 ? a12 ? 1 2 ? 1, 2 a3 ? a22 ?1 2 ? 3, 4 a4 ? a23 ?1 2 ? 17 16 ?1, 处理一:可依次迭代到 a10 ; 处理二:当 n ? 4 时, an?1 ? an2 ? 1 2 ? an2 ? 1,则 log 17 16 an?1 ?2log 17 16 an ?log 17 16 an ?1 ?2 n?1 则 an?1 ? ? ?? 17 16 2n?1 ? ?? (n ? 4) ,则 a10 ? ? 17 26 ? ??16 ?? ? ???1 ? 1 16 64 ? ?? ?1? 64 16 ? 64?63 ? 1 2 162 ??? ? 1? 4 ? 7 ? 10 . 故选 A 【点睛】遇到此类问题,不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想,通过研究函数的不动点, 进一步讨论 a 的可能取值,利用“排除法”求解. (2019·江苏)已知数列{an}(n ? N*) 是等差数列, Sn 是其前 n 项和.若 a2a5 ? a8 ? 0, S9 ? 27 ,则 S8 的值是_____. 【答案】16. 【分析】由题意首先求得首项和公差,然后求解前 8 项和即可. 【详解】由题意可得: ??a2a5 ? ? a8 ? ? a1 ? d ??a1 ? 4d 9?8 ? ? ? a1 ? 7d ? ? 0 , ?? S9 ? 9a1 ? 2 d ? 27 解得: ?


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