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高一数学必修四教案:3.2简单的三角恒等变换(1)Word版含答案

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数学 3.2 简单的三角恒等变换(1)教案
一、教学分析 本节主要包括利用已有的十一个公式进行简单的恒等变换,以及三角恒等变换在数学中
的应用.本节的内容都是用例题来展现的,通过例题的解答,引导学生对变换对象和变换目标 进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变 形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思 想,提高学生的推理能力.
本节把三角恒等变换的应用放在三角变换与三角函数间的内在联系上,从而使三角函数 性质的研究得到延伸.三角恒等变换不同于代数变换,后者往往着眼于式子结构形式的变换, 变换内容比较单一.而对于三角变换,不仅要考虑三角函数是结构方面的差异,还要考虑三 角函数式所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,它是一种立体的综合性变换. 从函数式结构、函数种类、角与角之间的联系等方面找一个切入点,并以此为依据选择可以 联系它们的适当公式进行转化变形,是三角恒等变换的重要特点. 二、三维目标 1.知识与技能: 通过经历二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦和正切公式,能利用和与差的正弦、余 弦公式推导出积化和差与和差化积公式,体会化归、换元、方程、逆向使用公式等数学思想, 提高学生的推理能力. 2.过程与方法: 理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并会利用公式进行简单的恒等变形,体会三角 恒等变换在数学中的应用. 3.情感态度与价值观: 通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程中如 何选择公式,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆向使用公 式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力. 三、重点难点 教学重点:1.半角公式、积化和差、和差化积公式的推导训练. 2.三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会三角变换的特点. 教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提高从 整体*盐毡浠还痰哪芰. 四、课时安排 2 课时 五、教学设想
第 1 课时 (一)导入新课
思路 1.我们知道变换是数学的重要工具,也是数学学*的主要对象之一,三角函数主 要有以下三个基本的恒等变换:代数变换、公式的逆向变换和多向变换以及引入辅助角的变 换.前面已经利用诱导公式进行了简单的恒等变换,本节将综合运用和(差)角公式、倍角 公式进行更加丰富的三角恒等变换.
思路 2.三角函数的化简、求值、证明,都离不开三角恒等变换.学*了和角公式,差角 公式,倍角公式以后,我们就有了进行三角变换的新工具,从而使三角变换的内容、思路和 方法更加丰富和灵活,同时也为培养和提高我们的推理、运算、实践能力提供了广阔的空间 和发展的*台.对于三角变换,由于不同的三角函数式不仅会有结构形式方面的差异,而且还

会有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的差异,因此三角恒等变换常常首先寻找 式子所包含的各个角之间的联系,并以此为依据选择可以联系它们的适当公式,这是三角式 恒等变换的重要特点.

(二)*驴巍⑿轮骄俊⑻岢鑫侍

①α 与 a 有什么关系? 2

②如何建立 cosα 与 sin2 a 之间的关系?

2

③sin2

a 2

=

1?

cosa 2

,cos2

a 2

=1?

cosa 2

,tan2

a 2

=1? 1?

cosa cosa

这三个式子有什么共同特点?

④通过上面的三个问题,你能感觉到代数变换与三角变换有哪些不同吗?

⑤证明(1)sinα cosβ = 1 [sin(α +β )+sin(α -β )]; 2

(2)sinθ +sinφ =2sin ? ? ? cos? ? ? .

2

2

并观察这两个式子的左右两边在结构形式上有何不同?

活动:教师引导学生联想关于余弦的二倍角公式 cosα =1-2sin2 a ,将公式中的α 用 a

2

2

代替,解出 sin2 a 即可.教师对学生的讨论进行提问,学生可以发现:α 是 a 的二倍角.在倍

2

2

角公式 cos2α =1-2sin2α 中,以α 代替 2α ,以 a 代替α ,即得 cosα =1-2sin2 a ,

2

2

所以 sin2 a = 1 ? cosa .



22

在倍角公式 cos2α =2cos2α -1 中,以α 代替 2α ,以 a 代替α ,即得 2

cosα =2cos2 a -1, 2

所以 cos2 a = 1 ? cosa .



22

将①②两个等式的左右两边分别相除,即得

tan2 a = 1 ? cosa .



2 1? cosa

教师引导学生观察上面的①②③式,可让学生总结出下列特点:

(1)用单角的三角函数表示它们的一半即是半角的三角函数;

(2)由左式的“二次式”转化为右式的“一次式”(即用此式可达到“降次”的目的).

教师与学生一起总结出这样的特点,并告诉学生这些特点在三角恒等变形中将经常用到.提

醒 学 生 在 以 后 的 学 * 中 引 起 注 意 . 同 时 还 要 强 调 , 本 例 的 结 果 还 可 表 示 为 :sin a = ± 2

1 ? cos a ,cos a =± 1 ? cos a ,tan a =± 1 ? cos a ,并称之为半角公式(不要求记忆),

2

2

2

2 1 ? cos a

符号由 a 所在象限决定. 2
教师引导学生通过这两种变换共同讨论归纳得出:对于三角变换,由于不同的三角函数

式不仅会有结构形式方面的差异,而且还有所包含的角,以及这些角的三角函数种类方面的

差异.因此,三角恒等变换常常先寻找式子所包含的各个角间的联系,并以此为依据,选择

可以联系它们的适当公式,这是三角恒等变换的重要特点.代数式变换往往着眼于式子结构

形式的变换.

对于问题⑤:(1)如果从右边出发,仅利用和(差)的正弦公式作展开合并,就会得出

左式.但为了更好地发挥本例的训练功能,把两个三角式结构形式上的不同点作为思考的出

发点,引导学生思考,哪些公式包含 sinα cosβ 呢?想到 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sin

β .从方程角度看这个等式,sinα cosβ ,cosα sinβ 分别看成两个未知数.二元方程要求得

确定解,必须有 2 个方程,这就促使学生考虑还有没有其他包含 sinα cosβ 的公式,列出

sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ 后,解相应的以 sinα cosβ ,cosα sinβ 为未知数的

二元一次方程组,就容易得到所需要的结果.

(2)由(1)得到以和的形式表示的积的形式后,解决它的反问题,即用积的形式表示和的

形式,在思路和方法上都与(1)没有什么区别.只需做个变换,令α +β =θ ,α -β =φ ,则

α = ? ? ? ,β = ? ? ? ,代入 (1)式即得(2)式.

2

2

证明:(1)因为 sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ ,

sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ ,

将以上两式的左右两边分别相加,得

sin(α +β )+sin(α -β )=2sinα cosβ ,

即 sinα cosβ = 1 [sin(α +β )+sin(α -β )]. 2
(2)由(1),可得 sin(α +β )+sin(α -β )=2sinα cosβ .①

设α +β =θ ,α -β =φ ,那么α = ? ? ? ,β = ? ? ? .

2

2

把α ,β 的值代入①,

即得 sinθ +sinφ =2sin ? ? ? cos ? ? ? .

2

2

教师给学生适时引导,指出这两个方程所用到的数学思想,可以总结出在本例的证明过

程中用到了换元的思想,如把α +β 看作θ ,α -β 看作φ ,从而把包含α ,β 的三角函数式变

换成θ ,φ 的三角函数式.另外,把 sinα cosβ 看作 x,cosα sinβ 看作 y,把等式看作 x,y 的

方程,通过解方程求得 x,这就是方程思想的体现.

讨论结果:①α 是 a 的二倍角. 2

②sin2 a =1-cos 1 ? cosa .

2

2

③④⑤略(见活动).

(三)应用示例
例 1 化简: 1? sin x ? cosx . . 1? sin x ? cosx

思路 1

活动:此题考查公式的应用,利用倍角公式进行化简解题.教师提醒学生注意半角公式

和倍角公式的区别,它们的功能各异,本质相同,具有对立统一的关系.

解:原式=

2sin 2

x ? 2sin x cos x

2

22

?

2sin x (sin x ? cos x )

22

2 =tan

x

.

2 cos2 x ? 2sin x cos x 2 cos x (cos x ? sin x) 2

2

22

22 2

点评:本题是对基本知识的考查,重在让学生理解倍角公式与半角公式的内在联系.

变式训练

化简:sin50°(1+ 3 tan10°).

解:原式=sin50°1 ?

3 sin10? c os10?

? sin 50?

2(1 cos10? ? 3 sin10? )

?2

2 c os10?

=2sin50°· sin 30 ? cos10 ? ? cos30 ? sin10 ? cos10 ?

=2cos40°· sin 40 ? cos10 ?

?

sin 80 ? cos10 ?

?

cos10 ? cos10 ?

=1.

例 2 已知 sinx-cosx= 1 ,求 sin3x-cos3x 的值. 2
活动:教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简,然后再求解.由于 (a-b)3=a3-3a2b+3ab2-b3=a3-b3-3ab(a-b),∴a3-b3=(a-b)3+3ab(a-b).解完此题后,教师引导学

生深挖本例的思想方法,由于 sinx·cosx 与 sinx±cosx 之间的转化.提升学生的运算.化简

能力及整体代换思想.本题也可直接应用上述公式求之,即

sin3x-cos3x=(sinx-cosx)3+3sinxcosx(sinx-cosx)= 11 .此方法往往适用于 sin3x±cos3x 的 16
化简问题之中.

解:由 sinx-cosx= 1 ,得(sinx-cosx)2= 1 ,

2

4

即 1-2sinxcosx= 1 ,∴sinxcosx= 3 .

4

8

∴sin3x-cos3x=(sinx-cosx)(sin2x+sinxcosx+cos2x)

= 1 (1+ 3 )= 11 . 2 8 16
点评:本题考查的是公式的变形、化简、求值,注意公式的灵活运用和化简的方法.

变式训练

(2007 年高考浙江卷,12) ______________.

已知 sinθ +cosθ = 1 ,且 ? ≤θ ≤ 3? ,则 cos2θ 的值是

52

4

答案: ? 7 25

例 1 已知 cos4 A ? sin 4 A ? 1求证 : cos4 B ? sin 4 B ? 1.

cos2 B sin 2 B

cos2 A sin 2 A

活动:此题可从多个角度进行探究,由于所给的条件等式与所要证明的等式形式一致, 只是将 A,B 的位置互换了,因此应从所给的条件等式入手,而条件等式中含有 A,B 角的正、余 弦,可利用*方关系来减少函数的种类.从结构上看,已知条件是 a2+b2=1 的形式,可利用三角 代换.

证明一:∵

cos4 cos2

A B

?

sin 4 sin 2

A B

?

1,

∴cos4A·sin2B+sin4A·cos2B=sin2B·cos+B. ∴cos4A(1-cos2B)+sin4A·cos2B=(1-cos2B)cos2B, 即 cos4A-cos2B(cos4A-sin4A)=cos2B-cos4B. ∴cos4A-2cos2Acos2B+cos4B=0. ∴(cos2A-cos2B)2=0.∴cos2A=cos2B.∴sin2A=sin2B.

∴ cos4 B ? sin 4 B ? cos2B+sin2B=1. cos2 A sin 2 A

证明二:令

cos 2

A

?

sin 2 cos a,

A

=sinα

,

cos B

sin B

则 cos2A=cosBcosα ,sin2A=sinBsinα . 两式相加,得 1=cosBcosα +sinBsinα ,即 cos(B-α )=1. ∴B-α =2kπ (k∈Z),即 B=2kπ +α (k∈Z). ∴cosα =cosB,sinα =sinB. ∴cos2A=cosBcosα =cos2B,sin2A=sinBsinα =sin2B.

∴ cos4 B ? sin 4 B ? cos4 B ? sin 4 B =cos2B+sin2B=1. cos2 A sin 2 A cos2 B sin 2 B
点评:要善于从不同的角度来观察问题,本例从角与函数的种类两方面观察,利用*方关 系进行了合理消元. 变式训练
在锐角三角形 ABC 中,ABC 是它的三个内角,记 S= 1 ? 1 ,求证:S<1. 1 ? tan A 1 ? tan B

证明:∵S= 1 ? tan A ? 1 ? tan B ?

1 ? tan A ? tan B

(1 ? tan A)(1 ? tan B) 1 ? tan A ? tan B ? tan A tan B

又 A+B>90°,∴90°>A>90°-B>0°.

∴tanA>tan(90°-B)=cotB>0,

∴tanA·tanB>1.∴S<1.

思路 2

例 1 证明 1 ? sin x =tan( ? + x ).

c os x

42

活动:教师引导学生思考,对于三角恒等式的证明,可从三个角度进行推导:①左边→

右边;②右边→左边;③左边→中间条件←右边.教师可以鼓励学生试着多角度的化简推导.

注意式子左边包含的角为 x,三角函数的种类为正弦,余弦,右边是半角 x ,三角函数的种 2
类为正切.

解:方法一:从右边入手,切化弦,得

tan(

? 4

+

x 2

)=

sin(? 2
cos(?

? x) 2
? x)

?

sin ? cos x ? cos?

42

4

cos? cos x ? sin ?

sin sin

x
2 x

?

cos x 2
cos x

? sin ? sin

x
2 x

,由左右两边的角

42

2 2 22

22

之间的关系,想到分子分母同乘以 cos x +sin x ,得 22

(cos x ? sin x )2 22

? 1? sin x

(cos x ? sin x)(cosx ? sin x) cosx

2 22 2

方法二:从左边入手,分子分母运用二倍角公式的变形,降倍升幂,得

1 ? sin x ?

(cos x ? sin x )2 22

cos x ? sin x

?2

2

cosx (cos x ? sin x)(cosx ? sin x ) cos x ? sin x

2 22 2

22

由两边三角函数的种类差异,想到弦化切,即分子分母同除以 cos x ,得 2

1 ? tan 1 ? tan

x
2 x

?

tan ? ? tan x 42
1 ? tan ? tan x

=tan( ? 4

+

x 2

).

2

42

点评:本题考查的是半角公式的灵活运用,以及恒等式的证明所要注意的步骤与方法.

变式训练

已知α ,β ∈(0, ? )且满足:3sin2α +2sin2β =1,3sin2α -2sin2β =0,求α +2β 的值. 2
解 法 一 :3sin2 α +2sin2 β =1 ? 3sin2 α =1-2sin2 β , 即 3sin2 α =cos2 β ,


3sin2 α -2sin2 β =0 ? 3sin α cos α =sin2 β ,
② ①2+②2:9sin4α +9sin2α cos2α =1,即 9sin2α (sin2α +cos2α )=1,

∴sin2α = 1 .∵α ∈(0, ? ),∴sinα = 1 .

9

2

3

∴sin(α +2β )=sinα cos2β +cosα sin2β =sinα ·3sin2α +cosα ·3sinα cosα =3sinα

(sin2α +cos2α )=3× 1 =1. 3

∵α ,β ∈(0, ? ),∴α +2β ∈(0, 3? ).∴α +2β = ? .

2

2

2

解法二:3sin2α +2sin2β =1 ?cos2β =1-2sin2β =3sin2α ,

3sin2α -2sin2β =0 ?sin2β = 3 sin2α =3sinα cosα , 2

∴cos(α +2β )=cosα cos2β -sinα sin2β

=cosα ·3sin2α -sinα ·3sinα cosα =0.

∵α ,β ∈(0, ? ),∴α +2β ∈(0, 3? ).∴α +2β = ? .

2

2

2

解法三:由已知 3sin2α =cos2β , 3 sin2α =sin2β , 2

两式相除,得 tanα =cot2β ,∴tanα =tan( ? -2β ). 2

∵α ∈(0, ? ),∴tanα >0.∴tan( ? -2β )>0.

2

2

又∵β ∈(0, ? ),∴ ? ? < ? -2β < ? .

2

22

2

结合 tan( ? -2β )>0,得 0< ? -2β < ? .

2

2

2

∴由 tanα =tan( ? -2β ),得α = ? -2β ,即α +2β = ? .

2

2

2

例 2 求证: sin(a ? ? )sin(? ? ? ) ? 1? tan2 ?

sin 2 ? cos2 ?

tan2 ?

活动:证明三角恒等式,一般要遵循“由繁到简”的原则,另外“化弦为切”与“化切为 弦”也是在三角式的变换中经常使用的方法.

证明:证法一:左边= (sin cos ? ? cos? sin ? )(sin ? cos ? ? cos? sin ? ) sin 2 ? cos2 ?

= sin 2 a cos2 ? ? cos2 a sin 2 ? ? 1? cos2 a sin 2 ? ? 1? tan2 ? ? =右边.∴原式成立.

sin 2 cos2 ?

sin 2 cos2 ?

tan2 a

证法二:右边=1- cos2 sin 2 ? ? sin 2 cos2 ? ? cos2 a sin 2 ?

sin 2 cos2 ?

sin 2 a cos2 ?

= (sin a cos ? ? cos a sin ? )(sin a cos ? ? cos a sin ? ) sin 2 cos2 ?

= sin(a ? ? ) sin(a ? ? ) =左边.∴原式成立. sin 2 cos2 ?

点评:此题进一步训练学生三角恒等式的变形,灵活运用三角函数公式的能力以及逻辑

推理能力.

变式训练

1.求证: 1 ? sin 4? ? cos4? 2 s in ?

?

1

?

sin 4? ? cos4? 1 ? tan2 ?

.

分析:运用比例的基本性质,可以发现原式等价于 1 ? sin 4? 1? sin 4?

? cos4? ? cos4?

?

1

2 ?

tan? tan2 ?

,此式右

边就是 tan2θ .

证明:原等式等价于 1 ? sin 4? ? cos4? ? tan 2? . 1? sin 4? ? cos4?

而上式左边

sin 4? ? (1? cos 4? ) ? 2sin 2? cos 2? ? 2sin2 2? sin 4? ? (1? cos 4? ) 2sin 2? cos 2? ? 2 cos2 2?

= ? 2sin 2? (cos 2? ? sin 2? ) 2 cos 2? (sin 2? ? cos 2? )

=tan2 ?

右边.∴上式成立,即原等式得证.
2.已知 sinβ =m·sin(2α +β ),求证:tan(α +β )= 1 ? m tanα . 1? m
分析:仔细观察已知式与所证式中的角,不要盲目展开,要有的放矢,看到已知式中的 2 α +β 可化为结论式中的α +β 与α 的和,不妨将α +β 作为一整体来处理.
证明:由 sinβ =msin(2α +β ) ?sin[(α +β )-α ]=msin[(α +β )+α ] ? sin( α + β )cos α -cos( α + β )sin α =m0[sin( α + β )cos α +cos( α + β )sin α ] ?(1-m)·sin(α +β )cosα =(1+m)·cos(α +β )sinα ?tan(α +β )= 1 ? m tanα .
1? m

(四)知能训练

1.若 sinα = 5 ,α 在第二象限,则 tan a 的值为( )

13

2

A.5

B.-5

C. 1

5

2.设 5π <θ <6π ,cos ? =α ,则 sin ? 等于( )

2

4

D. ? 1 5

A. 1 ? a 2

B. 1 ? a 2

C. ? 1 ? a 2

3.已知 sinθ = ? 3 ,3π <θ < 7? ,则 tan ? _________________.

5

2

2

解答:

1.A 2.D 3.-3

D. ? 1 ? a 2

(五)课堂小结 1.先让学生自己回顾本节学*的数学知识:和、差、倍角的正弦、余弦公式的应用,半角公式、 代数式变换与三角变换的区别与联系.积化和差与和差化积公式及其推导,三角恒等式与条 件等式的证明. 2.教师画龙点睛总结:本节学*了公式的使用,换元法,方程思想,等价转化,三角恒等变形的 基本手段.

(六)作业



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