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2022张宇考研基础30讲 第六讲 中值定理

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第六讲 中值定理介值定理导数介值定理
*均值定理费马定理罗尔定理构造辅助函数通用法则

拉格朗日中值定理多次使用拉格朗日
柯西中值定理泰勒公式



第六讲 中值定理
介值定理



导数介值定理


证明:



与函数的介值定理不同,函数的介值定理要求函数连续,但是在这里,只需要满足:

这一点即可。


这是因为



如果一个函数可导,那么这个导函数不可能存在跳跃间断点。
也不会存在可去间断点和无穷间断点(但是有可能会有振荡间断点,但是不会违背导数介值定理)



(因为即使是振荡间断点,也可以取得-1到1所有的值,因此不会违背导数介值定理)


*均值定理


例题:



看到多个相加的 用*均值定理,加起来除以个数。然后再用罗尔定理



积分中值定理还可以理解为*均值定理


费马定理



证明过程:


如果表达式大于或小于零 并且极限存在 则根据极限的保号性定理 极限的符号就等于表达式的符号



看到导数想到用定义,定义写出来后可以发现f(x)不是在端点而是在区间内取得最大值,说明存在极值,则可以用费马定理


由此可以引申出这样的一个结论:


罗尔定理



推广的罗尔定理可以直接使用


因此 证明某点导函数值为零可以有以下的思路:

除了这种考法,还有另外的考法:


构造辅助函数


例如:



对于1.6.6


应该把1移过去
然后可以发现

再例如


通用法则


例如1.6.6:


1.6.3:

第一种方法:


可以从需要证明的东西出发:

例如这个

移项后 构造


其实看到这个可以想到积分中值定理(也就是*均值定理)


第二种方法:


出题人所给的提示就是这个东西


因此这里可以构造函数:

令F(X)就等于这个


然后其实这两种方法只差了一个常数:


而常数对于求导来说没什么区别


1.6.6



在证第二问的时候遇到了困难,这时候困难就需要用到第一问的结论



另外一种考法,多次使用罗尔定理:



在上图 三次使用了罗尔定理:三点相同,就可以证二阶导等于零
例题:

需要用到的知识:


我们需要证明这个:
根据下节的拉格朗日:

题目又给了积分:
已知变限积分:



因此见到定积分想到这两种:

想到可以用拉格朗日:



但是总结下来可以知道第一问可以直接使用*均值定理:


第二问

同样用*均值定理


这样就可以得到三个相等的点,就可以使用过罗尔定理了
然后使用三次罗尔定理


罗尔定理的难点在于构造函数和找相同的点


拉格朗日中值定理



特殊的0和1:




因此,上面那题的那一问还可以这样写:






观察这题所要证明的东西可以看到与罗尔定理有类似之处,说下区别:
首先拉格朗日可以推罗尔:


如果要证导数=0用罗尔,如果要证一阶导数等于一个函数值用拉格朗日


多次使用拉格朗日


证明两个不同的值相等的时候,不能在一个区间内使用拉格朗日,因为如果在一个区间内使用拉格朗日会导致两个值可能是相同的。此时需要划分区间,然后在不同的区间使用。



然后对其取倒数后可得:


那么接下来需要证明:


所以接下来只要取f(τ)=1/2即可
而根据介值定理 一定存在τ属于(0,1)使得f(τ)=1/2


所以如果是考研题会有个第一问:


柯西中值定理


(柯西不是由两次拉格朗日除法得出的)


另外 柯西中值定理考的较少
33年只有2000考过一次



柯西取g(x)=x可以推出拉格朗日
拉格朗日取f(a)=f(b)可以推出罗尔定理


(正好柯西的老师是拉格朗日,拉格朗日老师是罗尔,一代一代发扬光大tql)


例题:


泰勒公式






说到区间时用拉格朗日,说到极限时可用佩亚诺余项


并且还需要注意这两个定理成立的条件:

例题:


接下来看这题的第二问:


看到所要证明的东西中有积分和对称区间,我们联想到:


首先对于积分形式 有这样的一个关系:奇函数在对称区间积分和为零)


接下来在第一问的基础上,两边取积分:



接下来其实最关键的一步 就是用有界最值定理了




1和2的联系:积分
2和3的联系:拉格朗日
2和4的联系:泰勒


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